натуральних чисел

Число i є дільником натурального числа n, якщо n mod i=0.

У кожного натурального числа n обов’язково є два дільники: 1 та n.

Всі інші дільники натурального числа n (якщо вини є), знаходяться в інтервалі [2, n div 2].

Натуральне число називається простим, якщо у нього немає дільників в інтервалі [2, n div 2].

Щоб знайти всі дільники числа n, потрібно перевірити всі числа i з інтервалу [1, n] на умову n mod i=0. Тобто це буде такий цикл:

for i:=1 to n do if n mod i=0 then.

Щоб перевірити, чи є число n простим, достатньо перевірити на цю умову всі числа з інтервалу [2, n div 2]. Тобто це буде такий цикл:

for i:=2 to n div 2 do if n mod i=0 then.

Приклад 1

Дано натуральне число n. Знайти всі його дільники, їх кількість та суму.

Дано: натуральне число n.

Знайти: Надрукувати його дільники, підрахувати їх кількість та знайти їх суму.

Результати роботи програми

Ввід	Відповідь	Пояснення
12	1 2 3 4 6 12 6 28	Вводимо число 12. Його дільники: 1 2 3 4 6 12. Кількість дільників –6. Сума дільників – 28.

Змінні:

i – дільники та параметр циклу (цілого типу word)

k – кількість дільників (цілого типу word)

Алгоритм

1. Спочатку вводимо натуральне число n.
2. Ми будемо знаходити кількість та суму. Тому присвоїмо початкове значення 0 змінним k та s.
3. Нам потрібно знайти всі дільники числа n. Вони знаходяться в інтервалі [1, n].
4. У циклі for i:=1 to n do будемо знаходити ці дільники. Для кожного iбудемо перевіряти умову n mod i=0 і, якщо вона вірна (тобтоi є дільникомn), то
   • виводимо на екран цей дільник оператором write(i,’ ‘);
   • підраховуємо цей дільник оператором k:=k+1;
   • накопичуємо цей дільник у суму оператором s:=s+i.
5. Коли цикл закінчиться, виводимо знайдені значення кількості та суми на екран оператором writeln(k,’ ‘,s).

Програма

var n,k,s,i:word; begin read(n); k:=0;s:=0; for i:=1 to n do if n mod i=0 then begin write(i,’ ‘); k:=k+1; s:=s+i; end; writeln(k,’ ‘,s); end.

Приклад 2

Для кожного натурального числа з інтервалу [A, B] знайдіть всі дільники, їх кількість та суму.

Дано: два натуральних числа A та B.

Знайти: Для кожного з чисел A, A+1, A+2. B знайти всі дільники, підрахувати їх кількість та знайти їх суму.

Результати роботи програми

Ввід	Відповідь	Пояснення
a=10 b=14	дільники числа 10: 1 2 5 10 k=4 s=18 дільники числа 11: 1 11 k=2 s=12 дільники числа 12: 1 2 3 4 6 12 k=6 s=28 дільники числа 13: 1 13 k=2 s=14 дільники числа 14: 1 2 7 14 k=4 s=24	Вводимо числа 10 та 14. Для кожного з чисел 10, 11, 12, 13, 14, знаходимо дільники, їх кількість та суму. Перед дільниками виводимо на екран і само число

Змінні:

A – ліва границя інтервалу (цілого типу word, бо числа натуральні)

n – натуральне число з інтервалу [A, B] та параметр зовнішнього циклу (цілого типу word, бо число натуральне)

i – дільники числа n та параметр внутрішнього циклу (цілого типу word)

k – кількість дільників числа n (цілого типу word)

Алгоритм

1. Спочатку вводимо натуральні числа A та B, що є границями інтервалу.
2. Для кожного числа n із цього інтервалу ми повинні повністю виконати попередній алгоритм, починаючи з пункту 2. Тому у нас будуть вкладені цикли:
   • зовнішній цикл: for n:=a to b do
     • перебирає числа n з інтервалу [A, B];
     • виводить ці числа на екран write(n);
     • для кожного числа n встановлює початкове значення для кількості та суми дільників s:=0; k:=0. Це обов’язково потрібно зробити у зовнішньому циклі, але перед внутрішнім.
   • внутрішній цикл for i:=1 to n do if n mod i=0 then для кожного числа n знаходить дільники та:
     • виводить на екран цей дільник оператором write(i,’ ‘);
     • підраховує цей дільник оператором k:=k+1;
     • накопичує цей дільник у суму оператором s:=s+i.
   • Коли внутрішній цикл закінчиться, виводимо знайдені значення кількості та суми для даного числа nна екран оператором writeln(k,’ ‘,s) та переходимо на наступний виток зовнішнього циклу для обробки наступного числа.

Блок–схема програми

Програма

var a,b,n,i,k,s:word; begin write(a=’);read(a); write(‘b=’);read(b); for n:=a to b do begin write(дільники числа ‘,n,’: ‘); s:=0;k:=0; for i:=1 to n do if n mod i=0 then begin write(i,’ ‘); k:=k+1; s:=s+i; end; writeln(‘ k=’,k,’ s=’,s); end; end.

Приклад 3

Для кожного з чисел з інтервалу від 300 до 400 знайти суму дільників. Вивести на екран числа, у яких сума дільників кратна 10, а також саму суму дільників.

Знайти: Для кожного з чисел 300, 301, 302, . 400 додати всі дільники, і, якщо сума буде кратна 10, то вивести на екран число та знайдену суму.

Результати роботи програми

Відповідь	Пояснення
n=304 s=620 n=312 s=840 n=316 s=560 n=319 s=360 n=323 s=360 n=327 s=440 n=328 s=630 n=342 s=780 n=343 s=400 n=344 s=660 n=348 s=840 n=349 s=350 n=351 s=560 n=354 s=720 n=356 s=630 n=358 s=540 n=359 s=360 n=360 s=1170 n=376 s=720 n=377 s=420 n=378 s=960 n=379 s=380 n=380 s=840 n=384 s=1020 n=389 s=390 n=395 s=480 n=398 s=600 n=399 s=640	В програму нічого не вводиться. Числа у відповіді мають коментарі: спочатку виводиться число n, а потім сума його дільників s.

Змінні:

n – натуральне число з інтервалу [300,400] та параметр зовнішнього циклу (цілого типу word, бо число натуральне)

i – дільники числа n та параметр внутрішнього циклу (цілого типу word)

Алгоритм

1. Так же як і у попередньому прикладі, у нас будуть вкладені цикли:
   • зовнішній цикл: for n:=300 to 400 do
     • перебирає числаn з інтервалу [300,400];
     • для кожного числа n встановлює початкове значення для суми дільників s:=0;
     • внутрішній цикл for i:=1 to n do if n mod i=0 then для кожного числа n знаходить суму дільників s:=s+i.
   • Коли внутрішній цикл закінчиться, перевіряємо знайдену суму s і, якщо вона кратна 10 (s mod 10=0), то виводимо на екран число n та знайдену суму оператором write(‘n=’,n,’s=’,s) та переходимо на наступний виток зовнішнього циклу для обробки наступного числа.

Програма

var n,i,s:word; begin for n:=300 to 400 do begin s:=0; for i:=1 to n do if n mod i=0 then s:=s+i; if s mod 10=0 then write(‘ n=’,n,’ s=’,s); end; end.

Приклад 4

Дано натуральне число n. Визначити, чи є воно простим?

Дано: натуральне число n.

Знайти: З’ясувати, чи є у числа дільники у інтервалі [2, n div 2].

Результати роботи програми

Ввід	Відповідь	Пояснення
12	No	У числа 12 в інтервалі [2,6] є дільники: 2, 3, 4, 6. Тому число не є простим.
17	Yes	У числа 17 в інтервалі [2,8] немає дільників. Тому число є простим.

Змінні:

Алгоритм

1. Спочатку вводимо натуральне число n.
2. Ми будемо використовувати алгоритм з ознакою. Тому присвоїмо початкове значення ознаці p:=false. Тобто вважаємо, що дільників немає.
3. Тепер у циклі for i:=2 to n div 2 do будемо шукати дільники. Для кожного i будемо перевіряти умову n mod i=0 і, якщо вона вірна (тобто i є дільником n), то установимо значення ознаки p:=true.
4. Коли цикл закінчиться, то перевіримо значення ознаки:
   • Якщо p=false, то дільників немає, число просте, відповідь ‘yes‘.
   • Якщо p=true, то є дільники, число не просте, відповідь ‘no‘.

Програма

var n,i: word; P:boolean; begin read(n);p:=false; for i:=2 to n div 2 do if n mod i=0 then p:=true; if not p then writeln(‘yes’) else writeln(‘no’); end.

Приклад 5

Знайдіть в інтервалі [A, B] всі прості числа.

Дано: два натуральних числа A та B.

Знайти: Для кожного з чисел A, A+1, A+2. B з’ясувати, чи є воно простим. Якщо число просте, то вивести його на екран.

Результати роботи програми

Ввід	Відповідь	Пояснення
10 14	11 13	Вводимо числа 10 та 14. Для кожного з чисел 10, 11, 12, 13, 14, шукаємо дільники в інтервалі [2,n div 2]. У числа 10 в інтервалі [2,5] є дільники 2 та 5, тобто число не просте. У числа 11 в інтервалі [2,5] немає дільників, тобто число просте і тому виводиться на екран. У числа 12 в інтервалі [2,6] є дільники 2, 3, 4 та 6, тобто число не просте. У числа 13 в інтервалі [2,6] немає дільників, тобто число просте і тому виводиться на екран. У числа 14 в інтервалі [2,7] є дільники 2 та 7, тобто число не просте.

Змінні:

A – ліва границя інтервалу (цілого типу word, бо числа натуральні)

n – натуральне число з інтервалу [A, B] та параметр зовнішнього циклу (цілого типу word, бо число натуральне)

Алгоритм

1. Спочатку вводимо натуральні числа A та B, що є границями інтервалу.
2. Для кожного числа nіз цього інтервалу ми повинні повністю виконати попередній алгоритм, починаючи з пункту 2. Тому у нас будуть вкладені цикли:
   • зовнішній цикл: for n:=a to b do
     • перебирає числа n з інтервалу [A, B]
     • присвоює початкове значення ознаці p:=false. Тобто вважаємо, що дільників у числа n немає. Це обов’язково потрібно зробити у зовнішньому циклі, але перед внутрішнім.
   • У внутрішньому циклі for i:=2 to n div 2 do будемо шукати дільники числа n. Для кожного i будемо перевіряти умову n mod i=0 і, якщо вона вірна (тобтоi є дільником n), то установимо значення ознаки p:=true.
   • Коли внутрішній цикл закінчиться, то перевіримо значення ознаки:
     • якщо p=false, то дільників немає, число n просте і тому виводиться на екран оператором write(n,’ ‘), а потім виконується перехід на наступний виток зовнішнього циклу для обробки наступного числа.
     • якщо p=true, то є дільники, число не просте, число не виводиться, виконується перехід на наступний виток зовнішнього циклу для обробки наступного числа.

Програма

var n,i,a,b: word; P:boolean; begin read(a,b); for n:=a to b do begin p:=false; for i:=2 to n div 2 do if n mod i=0 then p:=true; if not p then write(n,’ ‘); end; end.

Варіанти задач

1. Дано натуральне число n. Вивести на екран всі його парні дільники.
2. Дано натуральне число n. Знайти суму його непарних дільників.
3. Дано натуральне число n. Знайти кількість його парних дільників.
4. Для кожного цілого числа з інтервалу [10,15] знайдіть всі непарні дільники.
5. Дано натуральне число n. Надрукуйте його дільники та знайдіть середнє арифметичне його парних дільників.
6. Знайдіть всі прості трьохзначні числа.
7. Надрукуйте всі трьохзначні паліндроми, що є простими числами.
8. В інтервалі [A, B] знайдіть кількість простих чисел.
9. Для кожного цілого числа з інтервалу [30, 36] знайдіть кількість його парних дільників.
10. Для кожного цілого числа з інтервалу [15, 20] знайдіть суму його непарних дільників.
11. Знайдіть суму непарних дільників для кожного з цілих чисел від 50 до 70.
12. Для кожного цілого числа з інтервалу [16, 24] знайдіть середнє арифметичне його парних дільників.
13. Для кожного цілого числа з інтервалу [120; 140] знайдіть всі непарні дільники та їх кількість.
14. Для кожного цілого числа з інтервалу [A, B] знайдіть кількість його парних дільників.
15. Для кожного цілого числа з інтервалу [A, B] знайдіть всі його дільники, що кратні 3.
16. З інтервалу [15, 25] виведіть на екран числа, у яких 4 дільники.

ДІЛЬНИКИ і КРАТНІ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА. ПРОСТІ ЧИСЛА

Подивіться на малюнок 1. Ви бачите, що б яблук поділили на 2 купки по З яблука в кожній. Тут число б є діленим, число 2 – дільником, а число З – часткою. Але в яблук можна поділити і по-іншому – розкласти їх на 3 купки по 2 яблука в кожній. Тоді для діленого б число 3 є дільником, а число 2 – часткою. Це означає, що числа 2 і 3 є дільниками числа б. Водночас число б є кратним для кожного зі своїх дільників – і для числа 2, і для числа 3. Дільники і кратні є натуральними числами.

Дільником числа називається таке число, на яке ділиться дане

Кратним числа називається таке число, яке ділиться надане число.

? Чи є інші дільники в числа б? Так. Число б ділиться ще на 1 і саме на себе. Отже, загалом у числа 6 є чотири дільники:

Кожне натуральне число, починаючи з числа 2, має принаймні два дільники – число 1 і саме це число. Інші дільники шукають за спеціальними правилами.

Задача. Знайдіть усі дільники числа: 1) 7; 2) 12; 3) 25.

1) У числа 7 є принаймні два дільники – 1 і 7. На жодне інше натуральне число 7 не ділиться, тому в нього лише два дільники: 1 і 7.

2) Число 12 має принаймні два дільники – 1 і 12. Далі послідовно перевіряємо подільність числа 12 на натуральні числа від 2 до 11.12 : 2 = б, тому 2 і 6 – дільники числа 12. 12:3 = 4, тому 3 і 4 – теж дільники числа 12. На 5, 7, 8, 9, 10 і 11 число 12 не ділиться. Отже, дільниками числа 12 е числа: 1; 2; 3;4; 6; 12.

3) У числа 25 є принаймі два дільники: 1 25. На 2, 3 і 4, а також на числа від 6 до 24 це число не ділиться. 25 : 5 = 5, тому число 5 є дільником числа 25, при чому двічі. Але рівні дільники враховують лише один раз. Отже, у числа 25 не чотири, а три дільники: 1; 5; 25.

Натуральне число, яке має лише два дільники (1 і саме число), називається простим.

Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складеним.

Наприклад, 7 – просте число, а 12 і 25 – складені.

? Чи є 1 простим числом? А складеним? Ні, оскільки в числа 1 тільки один дільник. Отже, число 1 особливе. Вено і не просте, і не складене.

Найменшим простим числом є число 2.

Щоб виписати деяку кількість простих чисел, можна скористатися способом, який придумав ще в III ст. до н. е. Ератосфен Кіренський (276 р. до н. е. – 194 р. до н. е.), грецький математик, астроном, географ і поет. На честь ученого цей спосіб носить назву “решето Ератосфена”. На малюнку (с. 4) ви бачите, як знаходили прості числа від 2 до 50. Спробуйте самостійно пояснити, як це робили.

1. Яке число називається дільником числа?

2. Яке число називається кратним числа?

3. На які два числа завжди ділиться будь-яке натуральне число більше за 1?

4. Яке натуральне число називається простим? Наведіть приклад.

5. Назвіть найменше просте число.

6. Яке натуральне число називається складеним? Наведіть приклад.

1′. Чи кожне натуральне число має дільники?

2′. Чи правильно, що число 3 є дільником числа:

3′. Чи правильно, що число 12 є кратним числа:

4′. Назвіть: 1) три прості числа; 2) три складені числа.

1) простим числом; 2) складеним числом?

6°. Дано числа: 3; 4; 6; 8; 9. Випишіть ті з них, які є дільниками числа: 1)8; 2) 12; 3) 16; 4) 18.

7°. Дано числа: 2; 3; 5; 6; 8. Випишіть ті з них, які є дільниками числа: 1)9; 2) 15; 3) 32; 4) 40.

8°. Знайдіть усі дільники числа: 1) 8; 2) 14; 3) 28; 4) 39.

9°. Знайдіть усі дільники числа: 1) 9;
2) 11; 3) 25; 4) 36.

10°. Дано числа: 10; 12; 14; 16; 18; 20. Випишіть ті з них, які є кратними числа: 1) 4; 2) 6; 3) 3; 4) 8.

11°. Дано числа: 14; 18; 21; 24; 28; 30. Випишіть ті з них, які є кратними числа: 1) 6; 2) 7; 3) 10; 4) 3.

12°. Дід Мороз приніс дітям у дитячий садок подарунки і подарував кожній дитині однакову їх кількість. Скільки подарунків отримала кожна дитина, якщо в садочку 64 дитини, а подарунків було:

13°. На координатному промені позначте точку А(2) та ще чотири точки з координатами, кратними координаті точки А.

14°. На координатному промені позначте точку В(3) та ще три точки з координатами, кратними координаті точки В.

15°. Дано числа: 10; 11; 13; 15; 18; 23. Випишіть ті з них, які є:

16°. Дано числа: 21; 25; 27; 29; 32; 37. Випишіть ті з них, які є:

17°. Дано числа: 7; 8; 10; 13; 19; 24; 31; 34; 37; 39; 42; 43. Оберіть серед них ті, які мають:

1) тільки два дільники; 2) більше двох дільників.

18. Скільки дільників має число:

19. Знайдіть усі дільники числа:

20. Знайдіть усі дільники числа:

21. У магазині кольорові олівці продають у коробках по 16 олівців у кожній. Чи зможе вчитель малювання купити:

1) 48 олівців; 2) 64 олівці; 3) 96 олівців; 4) 120 олівців?

Якщо так, то скільки коробок?

22. У спортивних змаганнях беруть участь 108 школярів. Чи можна поділити їх на команди:

1) по 6 осіб; 2) по 12 осіб; 3) по 16 осіб; 4) по 24 особи?

Якщо так, то скільки буде таких команд?

23. Знайдіть усі двоцифрові числа, які є кратними числа:

24. Знайдіть усі двоцифрові числа, які є кратними числа:

25. Знайдіть усі трицифрові числа, менші від 400, для яких число 35 є дільником.

26. Знайдіть чотири найменші числа, дільниками яких є числа 6 і 8.

27. Чи можна записати просте число у вигляді:

2) суми двох непарних чисел;

3) суми парного і непарного числа?

Відповідь поясніть. Наведіть приклади.

28*. Знайдіть будь-які чотири натуральні числа, які мають рівно три дільники. Яку закономірність ви помітили?

29*. Знайдіть будь-які чотири натуральні числа, які мають рівно чотири дільники. Яку закономірність ви помітили?

30*. Запишіть число 48 у вигляді різниці квадратів двох простих чисел, менших від 25.

31. Оксанка купувала в магазині цукерки й отримала 2 грн 25 к. здачі. Чи могла вона отримати здачу тільки монетами: 1) по 5 к.; 2) по 10 к.; 3) по 25 к.; 4) по 50 к.? Якщо так, то скільки було монет?

32. Вік Іринки, її старшої сестри Ольги, їхніх мами та бабусі – усе це є дільниками числа 165. Знайдіть вік сестри, мами та бабусі дівчинки, якщо відомо, що Іринці – 11 років.

34. Магазин за перший день продав 180 кг помідорів, а за другий – 270 кг. На скільки відсотків більше магазин продав помідорів за другий день?