9.15: Обсяг трикутних призм

З трикутною призмою дві паралельні грані – трикутники, а інші грані – прямокутники. Малюнок (PageIndex) Обсяг трикутних призм ви розраховуєте практично так само, як і знаходите обсяг прямокутних призм. Ви все ще використовуєте формулу (V=Bh) . Однак на цей раз основою призми є трикутник, а не прямокутник. Тому потрібно використовувати формулу площі для трикутника, щоб знайти площу підстави, (B) . Потім можна помножити цю величину на висоту прямокутника, щоб знайти обсяг трикутної призми. Малюнок (PageIndex) Давайте розглянемо приклад. Який обсяг цієї трикутної призми, де висота трикутної основи дорівнює 7 см, а ширина підстави трикутника – 5 см? Для початку потрібно знайти площу трикутної основи. Ви використовуєте формулу для площі трикутника, яка є (dfrac bh) . Пам’ятайте, що ви використовуєте вимірювання висоти та основи для трикутного обличчя, а не висоту, H, вимірювання для всієї призми, яка є довжиною прямокутника. Отже, є дві речі, які вам потрібно виконати: вам потрібно знайти площу однієї з трикутних основ, а потім ви можете взяти це вимірювання і помножити його на висоту всієї призми. (begin V&=BH \ b&=dfrac bh \ b&=dfrac(5)(7) \ b&=35 \ V&=(35)H \ V&=(35)(12) \ V&=420text^end) Відповідь – обсяг цієї трикутної призми є (420 text^) .2>

Приклад (PageIndex) Раніше вам ставили проблему про те, як Меггі хоче знайти той обсяг шоколаду, який поміститься всередині упаковки. Трикутна основа – 1,4 дюйма; висота трикутника – 1,25 дюйма, а висота планки при стійці на його кінці – 8,25 дюйма. Рішення Спочатку підключіть значення для формули площі трикутника, щоб знайти базову площу, B. (begin b&=dfrac bh \ b&=dfrac(1.4)(1.25) \ b&=0.7(1.25)\ b&=0.88text^end ) Далі підключіть значення площі трикутника, B та значення висоти призми H, до формули об’єму та помножте значення разом. (begin V&=BH \ V&=0.88times 8.25 \ V&=0.88 times 8.25 \ V&=7.26end) Потім запишіть відповідь, обов’язково включивши відповідну одиницю виміру. (V=7.26text^ ) Відповідь – упаковка має обсяг 7,26 кубічних дюймів.1>

Приклад (PageIndex) Щороку Джіні отримує пляшку улюбленого парфуму на день народження. Парфуми випускаються у флаконі у формі трикутної призми. Скільки парфумів тримає флакон, коли він наповнений? Малюнок (PageIndex) Рішення Спочатку підключіть значення для формули площі трикутника, щоб знайти базову площу, B. (begin b&=dfrac bh \ b&=dfrac(6)(4) \b&=3(4) \ b&=12text^end) Далі підключіть значення площі трикутника, B та значення висоти призми H, до формули об’єму та помножте значення разом. (begin V&=BH \ V&=12times 9 \ V&=12 times 9 \ V&=108end) Потім запишіть відповідь, обов’язково включивши відповідну одиницю виміру. (V=108text^) Відповідь – флакон духів вміщує 108 кубічних сантиметрів парфуму при повному наповненні.2>

Приклад (PageIndex) Який обсяг трикутної призми з наступними розмірами: (b=12text) , (h=10text) , (h=15text) Рішення Спочатку підключіть значення для формули площі трикутника, щоб знайти базову площу, B). (begin b&=dfrac bh \ b&=dfrac(12)(10) \ b&=6(10) \ b&=60text^end) Далі підключіть значення площі трикутника, B та значення висоти призми H, до формули об’єму та помножте значення разом. (begin V&=BH \ V&=60times 15 \ V&=60 times 15 \ V&=900end) Потім запишіть відповідь, обов’язково включивши відповідну одиницю виміру. (V=900text^) Відповідь – обсяг цієї трикутної призми є (900text^) .3>

Приклад (PageIndex) Який обсяг трикутної призми з наступними розмірами: (b=7text) , (h=5text) , (h=9text) Рішення Спочатку підключіть значення для формули площі трикутника, щоб знайти базову площу, B. (beginb&=dfrac bh \ b&=dfrac(7)(5) \ b&=3.5(5) \ b&=17.5 cm^end) Далі підключіть значення площі трикутника, B та значення висоти призми H, до формули об’єму та помножте значення разом. V (V = B (h = 17,5 раз 9 (begin V&=17.5 times 9 \ V&=157.5 end) Потім запишіть відповідь, обов’язково включивши відповідну одиницю виміру. (V=157.5text^) Відповідь – обсяг цієї трикутної призми є (157.5text^) . 4>

Приклад (PageIndex) Який обсяг трикутної призми з наступними розмірами: (b=4text) , (h=3text) , (h=5text) Рішення Спочатку підключіть значення для формули площі трикутника, щоб знайти базову площу, B (beginb&=dfrac bh \ b&=dfrac(4)(3) \ b&=2(3) \ b&=6text^end) Далі підключіть значення площі трикутника, B та значення висоти призми H, до формули об’єму та помножте значення разом. (begin V&=BH \ V&=6times 5 \ V&=6 times 5 \ V&=30 end) Останній, запишіть відповідь, переконавшись, що вкажіть відповідну одиницю виміру. (V=30text^) Відповідь – обсяг цієї трикутної призми є (30text^) . 5>

Рецензія

1. (b=6text) , (h=4text) , (h=5text)
2. (b=7text) , (h=5text) , (h=9text)
3. (b=10text) , (h=8text) , (h=9text)
4. (b=12text) , (h=10text) , (h=13text)
5. (b=8text) , (h=6text) , (h=9text)
6. (b=9text) , (h=7text) , (h=8text)
7. (b=5.5text
   ) , (h=4text) , (h=4text)
8. (b=11text) , (h=9text) , (h=8text)
9. (b=20text) , (h=17text) , (h=19text)
10. (b=20text) , (h=18text) , (h=15text) .
11. (b=18text) , (h=16text) , (h=17text) .
12. (b=24text) , (h=21text) , (h=19text) .
13. (b=24.5text) , (h=18text) , (h=16text) .
14. (b=99text) , (h=80text) , (h=75text) .
15. (b=100text) , (h=80text) , (h=110text) .

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.11.

Площа поверхні трикутної призми – формули та приклади

Площа поверхні трикутної призми – це загальна площа, охоплена призмою.

Площа поверхні – це двовимірна міра, тому вона виражається у квадратних одиницях наприклад, мм 2 , см 2 або м 2 тощо. Щоб обчислити площу поверхні будь-якої 3D-фігури, ми повинні додати площі усіх граней фігури. Трикутна призма має дві рівні трикутні і три прямокутні грані.

Тут ми дізнаємось про формули, які ми можемо використовувати для обчислення площі поверхні трикутної призми. Також ми будемо використовувати ці формули для вирішення деяких практичних задач.

Формула для знаходження площі поверхні трикутної призми.

Формула площі поверхні трикутної призми отримується шляхом додавання виразів для площ усіх граней призми. У трикутній призмі ми маємо дві рівні трикутні грані та три прямокутні грані, які можуть бути або не бути однаковими.

Тобто, якщо розглянути трикутну призму ABCA₁B₁C₁, то, для обчислення площі будь-якої з її трикутних граней, до прикладу ABC, ми можемо скористатися наступною формулою: S_ABC=(AС∙BH)/2, де BH і AC – довжина висоти та довжина трикутної основи відповідно.

Зазначимо, що площа обох трикутних граней дорівнює AС∙BH.

Площа кожної прямокутної грані дорівнює висоті призми, помноженій на три сторони основи трикутника. Тобто, знову-таки, повертаючись до призми ABCA₁B₁C₁ матимемо: S_A1ABB1=A₁A∙AB, S_B1BCC1=B₁B₁∙BC, S_A1ACC1=C₁C∙AC.

Отже, додавши всі ці площі, матимемо:

де S – площа повної поверхні трикутної призми.

Як знайти площу повної поверхні трикутної призми без висоти основи?

Площа поверхні трикутної призми може бути обчислена навіть якщо висота основи призми не задана.

У цьому випадку площа 2 трикутних граней обчислюється за допомогою формули:

де s – півпериметр трикутника ABC (s=(AB+BC+AC)/2).

Потім використовується та ж формула загальної площі поверхні:

Зауваження: якщо позначити три сторони основи, висоту основи та висоту трикутної призми буквами a, b, c, H і h відповідно, то формули площі поверхні перепишуться у більш звичній буквенній формі:

Площа поверхні трикутної призми – приклади з відповідями.

Наведені нижче приклади використовуються для практики використання формули площі поверхні трикутних призм. Спробуйте розв’язати задачі самостійно, перш ніж дивитися на рішення.

Приклад 1: трикутна призма має висоту 6 см, а її трикутна основа має сторони 5 см, 6 см, 5 см і висоту 4 см. Яка площа її поверхні?

Отже, використовуючи формулу для площі поверхні із значеннями h=6, a=5, b=6, c=5 і H=4 матимемо:

Звідси, площа поверхні трикутної призми дорівнює 116 см 2 .

Приклад 2: трикутна призма має висоту 10 см, а її трикутна основа має сторони 13 см, 10 см, 13 см і висоту 12 см. Знайти площу її поверхні?

У цьому випадку сторони та висота основи рівні 13 см, 10 см, 13 см і 12 см відповідно. Висота призми дорівнює 10 см. Використовуючи ці значення у формулі площі поверхні, будемо мати:

Таким чином, площа поверхні трикутної призми дорівнює 516 см 2 .

Приклад 3: трикутна призма, має рівнобічну основу зі сторонами 6 см і висотою 5 см. Яка площа її поверхні якщо висота призми дорівнює 5 см?

За умовою маємо, що h=5, a=b=c=6 і H=5. Використовуючи формулу площі поверхні з цими значенням отримаємо:

Отже, площа поверхні трикутної призми дорівнює 120 см 2 .

Приклад 4: яка довжина висоти трикутної призми з площею поверхні 171 см 2 , якщо в її основі лежить рівносторонній трикутник зі сторонами 9 см і висотою 7 см?

У цьому випадку, знаючи площу поверхні призми, ми повинні знайти її висоту. Отже, використовуючи ту ж формулу, підставляємо задані значення та знаходимо висоту h:

Звідси, висота трикутної призми дорівнюють 4 см.

Приклад 5: площа поверхні трикутної призми дорівнює 340 см 2 . В основі призми лежить рівносторонній трикутник зі сторонами 10 см і висотою 7 см. Яка довжина висоти трикутної призми?

Як і у попереднь
ому прикладі, використовуючи формулу , підставляємо задані значення та знаходимо висоту:

Таким чином, довжина висоти трикутної призми дорівнює 9 см.

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про трикутні призми? Перегляньте ці сторінки: